博士論文中間発表　平林伸康 氏

「Numerical analyses of optimally accurate time domain finite difference
schemes and applications to exploration seismology」

2006年6月28日

　物理探査 (地震探査) では、石油貯留層を発見し、開発するために、およそ 10
km までの深さの地球の三次元地下構造が詳細に調べられている。ある地域で地
震探査が行われると、得られたデータは様々な手法 (スタッキングなど、また、
フォワード・モデリングを用いた試行錯誤によるモデル生成) で処理される。近
年、有限差分法による地震波形の生成は増加しており、観測データとの比較によ
り地下構造モデルの精度を上げることに役立っている。
　有限差分法 (FD) は主に (1) 計算した地震波形と観測した地震波形を比較する
ことにより、地下モデルの妥当性を検証する (2) マイグレーション (時間領域
の観測波形を空間領域に射影する) ことに用いられる。この二つの目的のほか
に、近年の探査装置の進歩とコンピュータの計算能力の向上により、地下モデル
を得ることに最も理想的と考えられている波形インバージョン (Full Waveform
Inversion) への適用も増えている。しかしながら、有限差分法は計算量が多い
ために、計算精度を確認した上での計算効率の改善が求められている。
　本研究では、まず簡単なモデルを用いて様々な差分手法についての性能評価を行
い、計算精度と安定性条件について数学的な解析を行った。次に、最適差分演算
子 (Optimally Accurate Scheme) を物理探査に現れる二次元 P-SV 問題の例に
適用し、高い精度と効率が実現されることを示した。最適差分演算子 (空間二
次、時間二次) は Takeuchi & Geller (Phys. Earth Planet. Inter., 2000) に
より Geller & Takeuchi (1995) の理論に基づき導きだされた。上記の論文と、
その後の研究から最適差分演算子は既存の計算手法よりも遥かに効率 (要求され
た計算精度に対する CPU 時間) が良いことが示されている (一次元で 10 倍、
二次元で 50 倍、三次元では 100 倍以上)。
　地震探査で調査される対象には流体層、自由表面、複雑形状 (Ｓａｌｔ の貫入
など)、そして急峻な速度変化 (Salt と堆積層の境界など) が含まれる。差分法
計算には、以上の条件を含むモデルを正確かつ効率よく計算することが求められ
る。我々は、実際の計算例により、最適差分演算子が物理探査に現れる問題の計
算法に適していることを示す。この研究で用いられた手法は局所的および大域的
規模の水平方向不均一な構造解析にも適用可能性がある。


　In order to explore for and exploit oil reservoirs, the 3-D structure of
the Earth's uppermost ten km are investigated in great detail by
exploration seismology. After data for a particular region are acquired by
a seismic survey, they are then processed by a variety of methods, e.g.,
stacking and related processing, trial or error forward modeling. Recently
the finite difference method is being increasingly used to compute
synthetic seismograms and compare them to the observed data so that the
Earth model can be improved.
　The finite difference method (FD) is mainly used for (1) validation of an
earth model by comparing the synthetic seismograms for that model to the
actual data, and (2) migration (migrating time domain seismic data to the
model space). Apart from these two purposes, the use of full waveform
inversion, which is ideally the best way to obtain an earth model, is
increasing due to recent improvements of exploration tools and computer
power. However, as FD modeling is computationally intensive, improving
the efficiency of FD schemes is desirable, as is confirming the accuracy of
calculations.
　In this study we first evaluate the performance of various FD schemes for
simple models and and make mathematical analyses of their accuracy and
stability. Then we apply an optimally accurate FD scheme to a 2D P-SV
problem of the type that arises in exploration seismology, and show that
high accuracy and efficiency is achieved. The optimally accurate scheme
(2nd order in space and time) was derived by Takeuchi and Geller (Phys.
Earth Planet. Inter., 2000) based on the theory of Geller and Takeuchi
(1995). These papers and later studies have shown that optimally accurate
schemes are far more cost effective (as measured by the CPU time required
to achieve a given level of accuracy) than conventional schemes (on the
order of a factor of ten for 1-D, fifty for 2-D, and projected to be over
100 for 3-D).
　The regions studied by exploration seismologists contain features such as
water layers, a free surface, complex geometry (e.g. salt intrusions) and
sharp velocity contrasts (salt vs. sediment). FD simulations must be able
to handle such media accurately and efficiently. We present computational
examples showing that optimally accurate numerical schemes appear
well-suited to such applications. The methods used in this study may
also be applicable to studies of laterally heterogeneous structure on
regional and global scales.